Задача к ЕГЭ на тему «Произвольные последовательности чисел» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

Максим придумал бесконечную последовательность натуральных чисел, в которой каждый член, начиная с третьего, равен последней цифре суммы двух предыдущих членов (в десятичной записи). Можно ли с уверенностью утверждать, что, начиная с некоторого номера $N$ , члены этой последовательности повторяются периодически c некоторым периодом $T > 0 » class=»math» width=»auto»> (т.е. при любых <img decoding=$ выполнено равенство $aN+k = aN+k+T$ )?

Заметим, что каждый член последовательности, начиная с третьего, однозначно определяется ровно двумя предыдущими членами последовательности, следовательно, если в данной последовательности дважды встречается фрагмент $a,b$ , то есть она имеет вид $a1...,a,b,...,a,b,...$ , то она периодическая.

Остаётся показать, что некоторый фрагмент такого вида действительно встретится в последовательности Максима не менее двух раз.

Начиная с третьего члена, каждый член последовательности совпадает либо с 0, либо с 1, …, либо с 9.

Так как последовательность бесконечная, то найдётся член этой последовательности, который повторяется бесконечное число раз.

Пусть $0$ повторяется бесконечное число раз. Тогда следующие после $0$ члены не могут быть всё время разными (их разных – конечное количество, а $0$ встречается бесконечно много раз).

В итоге следующие после $0$ члены также хотя бы раз совпадут, и фрагмент вида $0,b$ действительно встретится в последовательности хотя бы дважды.

Если другое число повторяется бесконечное число раз, то рассуждения в этом случае аналогичны предыдущим.

Таким образом, последовательность Максима периодична.