Тимур придумал бесконечную последовательность действительных чисел, в которой первые 10 членов натуральные числа, а каждый член, начиная с третьего, равен остатку от деления предпредыдущего члена на предыдущий член, либо 
(то есть, например, 
равен остатку от деления 
на 
, либо 
).
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Назовём периодом последовательности наименьшее натуральное число 
, такое что, начиная с некоторого номера 
, для любого 
выполняется 
. Найдите период последовательности Тимура.
а) Будем искать такую последовательность в виде
Данная система эквивалентна системе
Таким образом, можно взять, например, 
, 
. При этом получим последовательность
б) Если какой-то из членов последовательности равен 
, то, начиная с него, все члены последовательности равны 
(так как результат деления на 
не может совпасть ни с каким действительным числом).
Пусть никакой из членов последовательности не равен 
.
1) Пусть 
При этом остатки от деления натуральных чисел будут натуральными числами (
мы запретили), то есть каждый следующий член последовательности будет натуральным числом, меньшим предыдущего по крайней мере на 
.
Тогда член последовательности с номером 
должен быть натуральным числом, меньшим, чем 
по крайней мере на 
, что невозможно.
2) Пусть 
и этот пункт сводится к пункту 1) при помощи смены обозначений 
, 
, …, 
и дословного повторения рассуждения для последовательности 
.
Таким образом, последовательностей, подходящих под условие, у которых никакой из членов не равен 
, не бывает. Тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности Тимура равны 
и, значит, 
.