Илья придумал бесконечную последовательность натуральных чисел, в которой каждый член, начиная с сотого, равен последней цифре квадрата предыдущего члена (в десятичной записи). Можно ли с уверенностью утверждать, что, начиная с некоторого номера 
, члены этой последовательности повторяются периодически c некоторым периодом 
выполнено равенство 
)?
Заметим, что каждый член последовательности, начиная с сотого, однозначно определяется единственным предыдущим ему членом последовательности, следовательно, если в данной последовательности, начиная с сотого члена, дважды встречается одно и то же число, то она периодическая.
Остаётся показать, что некоторое число такого вида действительно встретится в последовательности Ильи не менее двух раз, начиная с сотого члена.
Начиная с сотого члена, каждый член последовательности совпадает либо с 0, либо с 1, …, либо с 9.
Так как последовательность бесконечная, то найдётся член этой последовательности, который повторяется бесконечное число раз. Таким образом, последовательность Ильи периодична.