Задача к ЕГЭ на тему «Произвольные последовательности чисел» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Верно ли, что при любом $k > 0 » class=»math» width=»auto»> последовательность <img decoding=$ убывает?

Зафиксируем произвольное $k > 0 » class=»math» width=»auto»>. 0 » class=»math» width=»auto»>. 0 » class=»math» width=»auto»>: <center class=$ $1 1 √x-− √x-+--k- f ′(x) = --√------− -√---= --√------√---. 2 x + k 2 x 2 x + k x$

Так как $0 < x < x + k$ , то $√ -- √ ------ x < x + k$ , следовательно, $f ′(x) < 0$ при $x > 0 » class=»math» width=»auto»>, то есть функция <img decoding=$ убывает на $(0;+ ∞ )$ , тогда $f (n + 1) < f(n)$ – при всяком $n ∈ ℕ$ , то есть последовательность $an$ убывает.