Задача к ЕГЭ на тему «Произвольные последовательности чисел» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

Илья выписал последовательность остатков от деления последовательно идущих натуральных чисел на 3 (начиная с некоторого числа). Верно ли, что начиная с некоторого номера $N$ , члены последовательности повторяются периодически c некоторым периодом $T > 0 » class=»math» width=»auto»> (т.е. при любых <img decoding=$ выполнено равенство $aN+k = aN+k+T$ )?

Любое $a ∈ ℕ$ имеет такой же остаток от деления на 3, что и $a + 3t$ , где $t ∈ ℕ$ – произвольное.

Так как различных остатков от деления на 3 может быть не больше 3, то фрагмент последовательности, в котором нет одинаковых чисел, имеет длину не больше 3: $b1,b2,b3$ , но тогда $b4 = b1$ , $b5 = b2$ , $b6 = b3$ и т.д., то есть члены выписанной Ильёй последовательности, начиная с некоторого номера, повторяются периодически.