Задача к ЕГЭ на тему «Производная в точке касания как угловой коэффициент касательной» №17

Просмотров 23 Комментарии 0

Прямая, заданная уравнением $y = 0,5kx + k$ , касается графика функции $g(x) = sin (f(x)) − 2$ в точке $(x0;g(x0 ))$ . Найдите $f′(x0)$ , если $g ′(x0) − 1,5k = 2$ , $f (x0) = 2π$ .

Производная функции $g(x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;g(x0))$ .

Таким образом, $0,5k = g′(x0),$ но по условию $g′(x0) − 1, 5k = 2$ , откуда находим $g′(x0) = − 1$ .

Так как $g(x) = sin (f (x)) − 2$ , то $′ ′ ′ ′ g (x) = (sin (f(x)) − 2) = (sin(f(x))) = cos(f (x )) ⋅ f (x)$ , откуда $g′(x0) = cos(f(x0)) ⋅ f′(x0)$ .

Тогда с учётом $f(x ) = 2π 0$ получим $f′(x ) = g ′(x ) = − 1 0 0$ .