Задача к ЕГЭ на тему «Производная в точке касания как тангенс угла наклона касательной» №12

Просмотров 7 Комментарии 0

Какой наибольший угол может составлять касательная к графику функции $( √ --) --3- y = 2 sin 2 x$ с графиком функции $y = 0$ ? Ответ дайте в градусах.

Обозначим угол между касательной к графику функции $( √-- ) -3-- y = 2sin 2 x$ в точке с абсциссой $x0$ и прямой $y = 0$ через $α(x0)$ , а угол наклона касательной к графику этой же функции в той же точке через $β(x0)$ . Тогда $α(x0 ) =$ меньшему из углов $β(x0)$ и $∘ 180 − β (x0)$ , следовательно,

[ tg (α (x )) = tg (β(x )) 0 0∘ tg (α (x0)) = tg (180 − β(x0)) = − tg (β (x0))

Но $α (x0) ∈ [0;90∘]$ , тогда $tg(α(x0)) ≥ 0$ и чем больше $tg(α (x0 ))$ , тем больше $α(x0)$ .

Так как $f′(x ) 0$ – тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке $(x0;f (x0))$ , то

( √ -- ) ′ √ -- --3- tg(β(x0)) = y (x0) = 3 ⋅ cos 2 x0

Если $tg(α (x0)) = tg (β (x0))$ , то наибольшее значение $tg(α (x0))$ равно $√-- 3$ . Если $tg(α (x0 )) = − tg(β(x0))$ , то наибольшее значение $tg(α(x0))$ тоже равно $√ -- 3$ . Тогда наибольшее значение $α$ равно $√ -- arctg 3$ .

Таким образом, искомый ответ: $60∘$ .