Задача к ЕГЭ на тему «Призма» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В основаниях призмы $ABCDEF A1B1C1D1E1F1$ лежат правильные шестиугольники. $AD$ и $BF$ пересекаются в точке $H$ , $A1H$ – высота призмы. Ребро $AA1$ наклонено к плоскости оснований под углом, тангенс которого равен $2$ . Найдите объем призмы, если $-- AF = 2√ 3$ .

$PIC$

$AH$ – проекция наклонной $A1A$ на плоскость $ABC$ , тогда $tg∠A1AH = 2$ .

В $ABCDEF$ все углы равны друг другу, их можно найти по формуле: $180∘⋅(n−-2)- 6$ , где $n$ – число сторон правильного многоугольника, тогда каждый угол в правильном шестиугольнике равен: $180∘⋅(6−2) ----6--- = 120∘$ .

Треугольник $△ABF$ – равнобедренный, $180∘−-120∘ ∘ ∠ABF = ∠AF B = 2 = 30$ .
В силу симметрии $ABCDEF$ : $120∘ ∠F AH = ∠BAH = -2--= 60 ∘$ $⇒$ $△AHF$ – прямоугольный. В этом треугольнике $AH$ лежит напротив угла в $30∘$ $⇒$ $√ -- AH = 1⋅ AF = 1 ⋅ 2 3 2 2$ .
В прямоугольном треугольнике $△A1AH$ : $√ -- A1H = AH ⋅ tg∠A1AH = 2 3$ .

В шестиугольнике $ABCDEF$ отрезки $AD$ , $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O$ , при этом шестиугольник разделится на $6$ одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной $2√3--$ (см. рисунок).

$PIC$