Задача к ЕГЭ на тему «Правильный шестиугольник и его свойства» №7

Просмотров 7 Комментарии 0

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

$PIC$

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

$PIC$

Так как угол правильного шестиугольника равен $∘ ∘ 180 (6− 2):6= 120,$ а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, $∘ ∠BAO = ∠ABO =60 ,$ следовательно, треугольник $ABO$ — равносторонний. То есть радиус окружности равен $AO$ и равен $AB.$ Так как периметр шестиугольника равен $72,$ то его сторона равна $72 :6= 12.$ Тогда диаметр описанной окружности равен $2 ⋅12 = 24.$