Задача к ЕГЭ на тему «Правильный шестиугольник и его свойства» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной $√108.$

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDF E$ и в нем треугольник $ABC.$ Параллельными сторонами являются пары $AB$ и $DF,$ $BC$ и $F E,$ $CD$ и $EA.$

Помним, что угол правильного шестиугольника равен $120∘.$

$PIC$

Треугольник $ABC$ равнобедренный ( $AB =BC$ ), следовательно, $∘ ∘ ∘ ∠BAC =0,5⋅(180 − 120 )= 30 .$

Таким образом, $∘ ∘ ∘ ∠CAE = 120 − 30 = 90 .$

Следовательно, $AC$ — расстояние между сторонами $AE$ и $CD$ (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми — отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем $AC$ по теореме косинусов ( $AB = BC = a= √108-$ ):

( ) AC2 = a2+ a2− 2a2 ⋅cos120∘ = 2a2(1 − cos120∘) =2 ⋅108 ⋅ 1+ 1 = 3⋅108 ⇒ √----- √ ------- 2 ⇒ AC = 3⋅108= 3⋅3⋅36= 3⋅6 =18

Правильный шестиугольник и его свойства