Задача к ЕГЭ на тему «Правильный шестиугольник и его свойства» №10

Просмотров 6 Комментарии 0

Около правильного шестиугольника $ABCDEF$ описана окружность с центром в точке $O.$ Найдите большую сторону треугольника $AOK,$ где $K$ — середина стороны $BC =√7-$ шестиугольника $ABCDEF.$

$PIC$

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, $AO$ — радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, $AB = AO = √7.$

Т.к. треугольник $AOB$ — правильный, то $∠AOB = 60∘.$ Треугольник $BOC$ также правильный. Т.к. по условию $OK$ — медиана в правильном треугольнике $BOC,$ то она и биссектриса, то есть

1 ∘ ∘ ∠BOK = 2 ⋅60 = 30

Таким образом, $∘ ∠AOK = 90 ,$ то есть треугольник $AOK$ — прямоугольный.

$PIC$

Следовательно, большая сторона в треугольнике $AOK$ — это гипотенуза $AK.$ По теореме Пифагора из треугольника $BOK$ ( $OK$ также является в нем высотой):

∘ ---------- ∘-√-----(-√-)2 √- √- OK = BO2 − BK2 = ( 7)2− -7- = -3-⋅ 7 2 2

Таким образом, по теореме Пифагора из треугольника $AOK :$

∘ ------(-√-----)2- AK = ∘AO2--+-OK2-= (√7-)2 + -3-⋅√7 = 7= 3,5 2 2