Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямоугольная пирамиды» №7

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите объем правильного тетраэдра, если одна из его апофем равна $√ - 3--6 2$ .

$PIC$

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Высота тетраэдра падает в точку пересечения медиан равностороннего треугольника (она же является точкой пересечения биссектрис, высот и т.д.; далее в решении задачи нас будет интересовать точка пересечения медиан), лежащего в основании.

$PIC$

Пусть $SABC$ – правильный тетраэдр, $SK$ – апофема, лежащая в грани $ABS$ . Она же является медианой, проведенной к стороне $AB$ . Тогда, если ребро тетраэдра обозначить за $x$ , то высота $SK$ в равностороннем треугольнике выразится как $√- -3- 2 ⋅x$ $⇒$ $√- √- -3- 3-6- 2 ⋅x = 2$ $⇒$ $√ - x = 3 2$ . $AL$ и $CK$ – медианы в треугольнике $△ABC$ , $H$ – точка пересечения $AL$ и $CK$ , $SH$ – высота в тетраэдре. Медианы точкой пересечения делятся на отрезки, состоящие в отношении $2:1$ , где больший отрезок лежит между соответствующей вершиной треугольника и точкой пересечения медиан. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник $△AHS$ : $2 2 2 3√6- √- AH = 3 ⋅AL = 3 ⋅SK = 3 ⋅-2-= 6$ , т.к. все равносторонние треугольники равны между собой и следовательно также равны между собой их высоты. $√ - AS = 3 2$ , тогда найдем $SH$ по теореме Пифагора: $2 2 2 AS = SH + AH$ $⇒$ $√ - SH = 2 3$ . Наконец, найдем объем правильного тетраэдра:

√ - V = 1 ⋅SH ⋅ 1⋅CK ⋅AB = 1⋅2√3-⋅ 1⋅ 3-6⋅3√2-= 9. 3 2 3 2 2