Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямоугольная пирамиды» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Высота правильной треугольной пирамиды равна $√ -- 3 3$ , а двугранный угол при основании равен $60 ∘$ . Найдите объем пирамиды.

Так как пирамида правильная, то высота $SO$ падает в точку пересечения медиан (которые являются также высотами и биссектрисами) основания. Пусть $CK ⊥ AB$ . Тогда $OK ⊥ AB$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SK$ , проекцией которой является $OK$ , также будет перпендикулярна $AB$ . Следовательно, $∠SKC$ – линейный угол двугранного угла при основании, то есть $∘ ∠SKC = 60$ .

$PIC$

Из прямоугольного $△SKO$ :

√ -- √ -- tg∠K = 3 = -SO- ⇒ OK = 3√--3-= 3. OK 3

Так как $OK$ – медиана, а $O$ – точка пересечения медиан, и медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $CK = 3OK = 9$ .
Пусть $KB = x$ , тогда $BC = 2x$ . Рассмотрим прямоугольный $△CKB$ :

√ -- √ -- BC2 = KB2 + CK2 ⇒ 4x2 = x2 + 81 ⇒ x = 3 3 ⇒ BC = 6 3 = AB.

Следовательно, объем пирамиды равен

1- 1- 1- √ -- 1- √ -- V = 3 ⋅ SO ⋅2 AB ⋅ CK = 3 ⋅ 3 3 ⋅2 ⋅ 6 3 ⋅ 9 = 81.