Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямоугольная пирамиды» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Дана прямоугольная пирамида $SABCD$ , в основании которой лежит параллелограмм со сторонами $AD$ и $AB$ , соответственно равными $2$ и $3$ , и углом между ними $√ -- 3 arcsin-4--$ , а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию. Найдите объем пирамиды, если $SD = 4$ .

$PIC$

Пусть $-- √ 3 ∠DAB = arcsin ---- 4$ , следовательно, $-- √ 3 sin ∠DAB = ---- 4$ .

Так как $SA$ перпендикулярно основанию, то оно перпендикулярно любой прямой из основания, следовательно, $△SAD$ – прямоугольный. Также по определению $SA$ является высотой пирамиды. Следовательно, по теореме Пифагора

√ ------------ √ -- SA = SD2 − AD2 = 2 3.

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними, следовательно, объем пирамиды равен

1 V = --⋅ SA ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin∠DAB = 3. 3