Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямоугольная пирамиды» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если стороны основания равны $√ -- 6 2$ , а плоский угол при вершине пирамиды равен $60∘$ .

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида. Значит, в ее основании лежит квадрат, а высота $SO$ пирамиды падает в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
$∠DSC = ∠CSB = ∠BSA = ∠ASD = 60 ∘$ , $-- AB = 6√ 2$ .

$PIC$

Найдем объем пирамиды, если $AB = a$ , а затем подставим вместо $a = 6√2--$ .

Т.к. объем пирамиды равен

V = 1-⋅ SABCD ⋅ SO = 1-⋅ a2 ⋅ SO, 3 3

то необходимо найти $SO$ .

$△CSD$ — равнобедренный ( $SD = SC$ ), следовательно, $∠D = ∠C = 1(180∘ − 60∘) = 60∘ 2$ .

Следовательно, он равносторонний и $SD = SC = CD = a$ .

Т.к. $√-- √ - BD = AB 2 ⇒ OD = 0,5BD = -22⋅ a$ .

Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOD$ ( $∠SOD = 90 ∘$ ):

( √ -- )2 √-- 2 2 2 2 --2- a2- -2-- SO = SD − OD = a − 2 ⋅ a = 2 ⇒ SO = 2 ⋅ a.

Тогда объем равен

√ -- √ -- 1- 2 --2- -a3-- 63 ⋅-2-2 V = 3 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a = √ --= √ -- = 144. 3 2 3 2

Правильная и прямоугольная пирамиды