Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямоугольная пирамиды» №14

Просмотров 7 Комментарии 0

Дана правильная четырехугольная пирамида, объем которой равен $7$ . Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной исходной пирамиды, а вершины основания совпадают с серединами сторон основания исходной пирамиды.

$PIC$

Рассмотрим рисунок. Пусть $SABCD$ – исходная пирамида, $′ ′ ′ ′ A ,B ,C ,D$ – середины отрезков $AB, BC,CD, DA$ соответственно. $SO$ – высота пирамиды $SABCD$ .

VSABCD = 1⋅SO ⋅AB2 3

Заметим, что $SO$ – также высота пирамиды $SA′B′C′D ′$ .
Так как $ABC$ – прямоугольный треугольник, то $√ ---------- √ - AC = AB2 + BC2 = 2AB$ . Так как $A ′B ′$ – средняя линия в $△ABC$ , то

′ ′ 1 √2 A B = 2 AC = -2 AB

Так как $′ ′ ′ ′ A B ∥ AC,A D ∥ BD$ , а $AC ⊥ BD$ , то $′ ′ ′ ′ A B ⊥ A D$ , следовательно, $′ ′′ ′ A B C D$ – квадрат. Следовательно,

1 1 1 1 VSA′B′C′D′ = 3 ⋅SO ⋅A′B′2 = 3 ⋅SO ⋅2AB2 = 2VSABCD = 3,5.