Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямоугольная пирамиды» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Известно, что боковое ребро пирамиды равно $√ --- 48$ , а угол между боковым ребром и плоскостью основания $30∘$ . Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Заметим, что $√ --- √ -- 48 = 4 3$ .
Пусть $CC1$ – высота (а значит и медиана) основания. Тогда

√ -- 3 CC1 = ---AB. 2

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то

√ -- CH = 2-CC1 = --3-AB. 3 3

Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а $CH$ – проекция $SC$ на плоскость основания, то $∠SCH = 30∘$ .
Из прямоугольного $△SHC$ :

√ -- ∘ CH ∘ √-- 3 cos30 = -SC- ⇒ CH = SC ⋅ cos30 ⇒ CH = 4 3 ⋅-2--= 6.

Так как еще $√ -- --3- CH = 3 AB$ , то можно найти $AB$ :

√ -- --3- √-- 6 = 3 AB ⇒ AB = 6 3.

Также из прямоугольного $△SHC$ :

∘ SH 1 √ -- sin 30 = SC-- ⇒ SH = 2SC = 2 3.

Следовательно, объем пирамиды равен

√ -- 1 1 √ -- 1 3 √ -- √ -- V = 3-⋅ SH ⋅ SABC = 3-⋅ 2 3 ⋅2-⋅ -2-⋅ 6 3 ⋅ 6 3 = 54.