Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямоугольная пирамиды» №10

Просмотров 6 Комментарии 0

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Известно, что сторона основания пирамиды равна $√ -- 3 3$ , а угол между ее высотой и боковым ребром равен $60∘$ . Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Пусть $CC1$ – высота (а значит и медиана) основания. Тогда

√ -- --3- CC1 = 2 AB.

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то

2 √3-- CH = --CC1 = ----AB. 3 3

Из прямоугольного $△SHC$ :

tg60∘ = CH-- ⇒ SH = CH√---= 1AB. SH 3 3

Следовательно, объем пирамиды равен

-- -- √ -- -- V = 1-⋅ SH ⋅ S = 1-⋅ 1-⋅ 3√ 3 ⋅ 1-⋅ 3√ 3 ⋅-3-⋅ 3√ 3 = 27 = 6,75. 3 ABC 3 3 2 2 4