Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямая призмы» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана прямая призма $ABCDA1B1C1D1$ , в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AD$ , равной $10$ . Боковое ребро призмы равно $12$ . Отрезок $B1H$ перпендикулярен прямой $CD$ и равен $--- 4 √ 13$ , причем $H$ лежит на прямой $CD$ . Найдите объем призмы.

$PIC$

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $B1H$ перпендикулярна $CD$ , то и ее проекция $BH$ перпендикулярна $CD$ . Так как $AD$ – боковая сторона трапеции, то ее основания – это $AB$ и $CD$ . Следовательно, $BH$ по определению является высотой трапеции.
Заметим, что $△BB1H$ прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

∘ ------------- ∘ -------------- 2 2 √ ---2 2 BH = B1H − BB 1 = (4 13) − 12 = 8.

Так как трапеция является описанной, то суммы ее противоположных сторон равны, следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон, значит, $AB + CD = AD + BC = 10 + 10 = 20.$ Значит, площадь трапеции равна

SABCD = AB--+-CD-- ⋅ BH = 80. 2

Тогда объем призмы равен

V = 80 ⋅ 12 = 960.