Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямая призмы» №6

Просмотров 7 Комментарии 0

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна $√ -- 4 2$ и составляет с плоскостью боковой грани угол $30∘$ . Найдите объем призмы.

$PIC$

Так как призма правильная, то она является прямой, а в основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.
Пусть $√ -- A1C = 4 2$ . Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Так как призма правильная, то $ABCD$ – квадрат и все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, $CD ⊥ AD$ и $CD ⊥ DD1$ , следовательно, по признаку $CD ⊥ AA D D 1 1$ . Следовательно, $A D 1$ – проекция $AC$ на грань $AA D D 1 1$ . Следовательно, $∘ ∠CA1D = 30$ .
$△CA1D$ прямоугольный, $1 √ -- CD = 2A1C = 2 2$ как катет, лежащий против угла $∘ 30$ . Тогда $A1D2 = A1C2 − CD2 = 24$ . Следовательно, по теореме Пифагора из прямоугольного $△A1AD$ ( $AD = CD$ ):

------------- AA = ∘ A D2 − AD2 = 4. 1 1

Следовательно, объем призмы равен

V = AD2 ⋅ AA1 = 32.