Задача к ЕГЭ на тему «Построение сечений» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ Диагонали основания $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Найдите сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точку $A$ перпендикулярно прямой $A1O.$

1) Если $A1O ⊥ α,$ то прямая $A1O$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $α.$ Построим эти две прямые.

Рассмотрим содержащую прямую $A1O$ плоскость $(AA1C1C).$ Проведем в ней прямую $AQ ⊥ A1O.$ Теперь необходимо через точку $Q$ их пересечения провести еще одну прямую перпендикулярно $A1O.$

Рассмотрим для этого содержащую прямую $A1O$ плоскость $(A1BD ).$ Проведем через точку $Q$ прямую $RS ⊥ A1O.$ Так как по теореме о трех перпендикулярах $A O ⊥ BD 1$ как наклонная $(A A ⊥(ABC ), AO ⊥ BD 1$ — проекция), то $RS ∥BD.$

$PIC$

2) Проведем прямые $AR$ и $AS.$ Они могут пересечь либо ребра $DD1$ и $BB1,$ либо их продолжения. Так как от этого зависит вид сечения, определим расположение точек $R$ и $S.$

Обозначим ребро куба за $a.$ Тогда имеем:

a√2- a AO = --2-= √2-

Рассмотрим прямоугольный $△AA1O.$ Так как $AQ ⊥ A1O,$ то по свойству прямоугольного треугольника

△AA1Q ∼ △AA1O ⇒ A1Q-= AA1- AA1 A1O

$PIC$

Тогда с привлечением теоремы Пифагора имеем:

∘ -----2- √ - 2 √- A1O = a2+ a-= --6a ⇒ A1Q = AA-1 = -6a 2 2 A1O 3

Так как $RS ∥BD,$ то

A1R A1Q √6- √6- 2 △A1DO ∼ △A1RQ ⇒ A1D- = A1O-= -3-:-2- = 3

Аналогично $A1S :A1B = 2:3.$

Заметим, что $△AA1R ∼ △MDR$ с коэффициентом подобия 2, так как $A1R :RD =2 :1.$ Следовательно, $1 MD = 2AA1.$ Аналогично $1 PB = 2AA1.$

Таким образом, получили линии пересечения плоскостей $(AA1D1 )$ и $(AA1B1)$ с плоскостью $α$ — прямые $AM$ и $AP.$

3) Так как плоскости $(AA B ) 1 1$ и $(DD C ) 1 1$ параллельны, то плоскость $α$ пересечет их по параллельным прямым. Следовательно, в плоскости $(DD1C1 )$ через точку $M$ нужно провести прямую, параллельную $AP$ .