Задача к ЕГЭ на тему «Последняя цифра числа» №8

Просмотров 6 Комментарии 0

Вася записал число, равное $2016!,$ в десятичной системе исчисления. Затем он стёр 500 последних цифр записанного числа. Какой цифрой оканчивается число, полученное в итоге Васей?

Понятно, что несколько последних цифр этого числа будут равны $0$ (в произведении $1⋅2⋅...⋅2016$ есть множители $10$ , $100$ , $1000$ ).

Пусть некоторое число делится на $10N$ , тогда последние $N$ цифр в его десятичной записи равны $0$ .

Число делится на $N 10$ тогда и только тогда, когда оно делится на $N 2$ и на $N 5$ .

Чисел, которые делятся на $5$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016:5]= 403$ (здесь $[a]$ – целая часть $a$ ).
Чисел, которые делятся на $52 = 25$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016 :25]= 80$ .
Чисел, которые делятся на $53 = 125$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016 :125]= 16$ .
Чисел, которые делятся на $54 = 625$ и не превосходят $2016$ , ровно $[2016 :625]= 3$ .
При $n ≥ 5$ чисел, которые делятся на $n 5$ и не превосходят $2016$ нет.

Таким образом, в разложение числа $2016!$ на простые множители число $5$ входит в степени $403 +80 +16+ 3 =502$ .

Чисел, которые делятся на $2$ и не превосходят $2016$ , ровно [2016:2]= 1008 >502 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1828-34.svg» width=»auto»>. </p>
<p class=

Тогда $2016!$ делится на $10502$ , следовательно, последние $502$ цифры этого числа равны $0$ . Таким образом, число, которое в итоге получил Вася, также оканчивается на $0$ .