Задача к ЕГЭ на тему «Последняя цифра числа» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все натуральные n такие, что к десятичной записи числа n(n + 2) справа можно дописать две цифры так, что полученное число будет квадратом некоторого натурального числа.

n (n + 2) = n2 + 2n.
Дописывание к десятичной записи числа цифр a и b эквивалентно умножению исходного числа на 100 и прибавлению к нему 10a + b :
100(n2 + 2n) + 10a + b = 100(n2 + 2n + 1 ) − 100 + 10a + b = (10n + 10)2 − 100 + 10a + b.
По условию полученное число должно быть равно N 2 для некоторого натурального N , тогда:

2 2 2 2 (10n + 10) − 100 + 10a + b = N ⇔ (10n + 10) − N = 100 − 10a − b ⇔ ⇔ (10n + 10 − N )(10n + 10 + N ) = 100 − (10a + b)

Обозначим 100 − (10a + b) = c , 1 ≤ c ≤ 100 – натуральное.

Тогда для того, чтобы n подходило по условию, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого натурального N и некоторого натурального 1 ≤ c ≤ 100 было выполнено

(10n + 10 − N )(10n + 10 + N ) = c.

Первый множитель (10n + 10 − N ) – натуральное число, так как оно целое и его произведение с натуральным числом даёт натуральное число.

Так как произведение не превосходит 100 , то 10n + 10 + N ≤ 100 .

Так как N 2 ≥ 300 (N 2 ≥ n(n + 2 ) ⋅ 100 ≥ 300 ) и N ∈ ℕ , то N ≥ 18 , тогда

28 ≤ 10n + 10 + N ≤ 100.
Таким образом, имеет смысл проверить только n = 1,2,3, 4,5,6,7 .

Для n ∈ {1,2,3,4} достаточно положить N = 10n + 9 , c = (10n + 10 + N ) .

Легко проверить, что при n = 5 :

(60 − N )(60 + N ) = c
– не может быть выполнено при 1 ≤ c ≤ 100 , N, c ∈ ℕ .

Для n = 6 и n = 7 – аналогично.
Таким образом, условие задачи выполняется только для n ∈ {1,2,3,4} .

Последняя цифра числа
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!