Задача к ЕГЭ на тему «Показательные: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

22x+1 − 3 ⋅ 2x+2 + 14 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[1;3].$

а) Так как $22x+1 = 22x ⋅ 21 = (2x )2 ⋅ 2$ , $2x+2 = 2x ⋅ 22$ , то при помощи замены $2x = t$ , t > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2524-4.svg» width=»auto»>, уравнение сведется к виду: </p>
<div class= $-- -- 2t2 − 12t + 14 = 0 ⇔ t2 − 6t + 7 = 0 ⇔ t = 3 − √2, t = 3 + √ 2 1 2$

Оба корня положительные, следовательно, подходят под условие t > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2524-6.svg» width=»auto»>. Сделаем обратную замену: </p>
<div class= $⌊ x √ -- ⌊ √ -- 2 = 3 − 2 x = log2(3 − 2) ⌈ x √ -- ⇔ ⌈ √ -- 2 = 3 + 2 x = log2(3 + 2)$

б) Отберем корни. Если $x ∈ [1;3]$ , то $t ∈ [2;8]$ .
Так как $1,4 < √2-< 1,5$ , то $t ∈ (1;2) 1$ , $t ∈ (4;5) 2$ . Следовательно, только $t 2$ входит в отрезок $[2;8]$ . Значит, только корень $√ -- x = log2(3 + 2)$ входит в отрезок $[1;3]$ .