Задача к ЕГЭ на тему «Показательные: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $9x+1 − 2 ⋅3x+2 +5 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( ) log 3 ;√5- . 32$

а) Так как $ax+y = ax ⋅ay,$ то уравнение можно переписать в виде:

x 2 x 9 ⋅9 − 2 ⋅3 ⋅3 +5 = 0.

Так как $9x = (3x)2,$ то заменой 3x = t> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2308-4.svg» width=»auto»> данное уравнение сводится к квадратному: </p>
<div class= $9t2− 18t+5 = 0.$

Корнями этого уравнения будут $t1 = 5 3$ и $t2 = 1. 3$ Сделаем обратную замену для $t1 :$

x 5 5 3 = 3 ⇔ x= log3 3.

Сделаем обратную замену для $t2 :$

3x = 1 ⇔ x= − 1. 3

б) Отберем корни. Так как log3 32 > log31= 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2308-12.svg» width=»auto»> то <img alt= −1, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2308-13.svg» width=»auto»> следовательно, $x = −1$ не входит в промежуток.

Заметим, что $3 5 log32 <log33,$ так как $3 5 2 < 3$ и основание логарифма 3 >1. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2308-17.svg» width=»auto»> </p>
<p class= Следовательно, осталось сравнить $5 log33$ и $√ - 5.$ Очевидно, что, если $a< b,$ то $a b 3 < 3.$ Воспользуемся этим свойством:

log3 5 ∨ √5 35 √- 3log33 ∨ 3 5 5 ∨ 3√5 3 √- √- 5 ∨ 3⋅3 5 = 31+ 5

Так как √ - 1+ 5> 2, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2308-23.svg» width=»auto»> то <img alt= 32 = 9, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2308-24.svg» width=»auto»> следовательно, между данными числами должен стоять знак $< .$

Таким образом, число $5 log33$ больше левого конца промежутка и меньше правого, следовательно, лежит в данном промежутке.