Задача к ЕГЭ на тему «Показательные: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $16x+0,25− 41⋅4x−1+ 9= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(0;1).$

а) Перепишем левую часть уравнения в виде:

16x⋅160,25− 41⋅4x⋅4−1+ 9= 42x⋅24⋅0,25− 41 ⋅4x ⋅ 1+ 9= 2 ⋅42x− 41 ⋅4x+ 9 4 4

Тогда уравнение после замены $4x = t$ примет вид квадратного уравнения:

2 41 2 2t − 4 t+9 = 0 ⇔ 8t− 41t+ 36= 0

Найдем дискриминант:

D = 412 − 4 ⋅8⋅36= 1681 − 1152 =529= 232

Следовательно, $t1 = 4,$ $t2 = 9. 8$ Так как показательная функция всегда положительна, то t> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1106-7.svg» width=»auto»> значит, оба корня нам подходят: </p>
<div class= $⌊ x ⌊ |4 = 4 |x = 1 ⌈ x 9 ⇔ ⌈ ( 9) 3 4 = 8 x = log4 8 = log49− log22(2 )= log49 − 1,5$

б) Отберем корни. Видно, что $x= 1$ не входит в промежуток. Так как $9 1< 8 < 4,$ то

(9) log41< log4 8 < log44 ( ) 0< log4 9 < 1 8

Следовательно, $x =log (9)∈ (0;1). 4 8$