Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №4

Пусть x0   – какое-то из решений уравнения

      1 x =  ex.
Решите неравенство

xx ≥ e

Так как ey > 0  » class=»math» width=»auto»> – при любых <img decoding=, то у уравнения      1 x = ex   не может быть неположительных решений, следовательно, x0 > 0  » class=»math» width=»auto»>, следовательно, </p>
<p>    <center class=        -1- ln x0 = x0 .

ОДЗ исходного неравенства:

x > 0.  » class=»math-display» width=»auto»></center> <span class=На ОДЗ          x xx = eln x =  exlnx   , тогда на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству
ex lnx ≥ e1     ⇔       xln x ≥ 1     ⇔       ln x ≥ -1.                                                    x

На ОДЗ:
функция f(x ) = ln x  – возрастает,   функция g(x) = -1        x  – убывает,   следовательно, на ОДЗ у уравнения

                               1- f(x) = g(x )    ⇔       lnx =  x
не более одного корня. Заметим, что ОДЗ уравнения        1 lnx =  --        x  совпадает с ОДЗ исходного неравенства, следовательно, на ОДЗ
f (x) = g(x)     ⇔      x =  x0.

Так как на промежутке (0;+ ∞ )  f (x )  – возрастает, а g(x)  – убывает, то при x ∈ (0;x0)  выполнено

f(x) < g(x ),
а при x ∈ [x0;+ ∞ )  выполнено
f(x) ≥ g(x ).

Таким образом,        1 lnx ≥  --        x  только при x ≥ x0   .

Оцените статью
Я решу все!