Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №38

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

-x- 5x+3 2x- 2x+1 − 2x+1 + 8≤ 2x+1

Так как показательная функция всегда положительна, то умножим обе части неравенства на 2−x2+x1 >0 : » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1988-1.svg» width=»auto»> </p>
<div class= $−x- 5x+3−2x −2x 2x+1 − 2 x+1 + 8⋅2x+1 ≤ 1$

Сделаем замену 2 −x+x1-= t> 0: » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1988-3.svg» width=»auto»> </p>
<div class= $t− 23+ 8t2 ≤ 1 ⇔ (8t+ 9)(t− 1)≤ 0 ⇔ − 98 ≤ t≤ 1$

Так как всегда $t> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1988-5.svg» width=»auto»> то данное неравенство равносильно <img decoding=$ Сделаем обратную замену:

2 −xx+1 ≤ 1 ⇔ -−-x-≤ 0 ⇔ x ∈(−∞; −1)∪ [0;+∞ ) x + 1