Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №35

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите неравенство

2x+1 ⋅ 53−4x <-1--- 104x

ОДЗ: $x$ – произвольный.

Т.к. $--1-- −4x −4x −4x −4x 104x = 10 = (2 ⋅ 5) = 2 ⋅ 5$ , то неравенство равносильно:

x 3 − 4x −4x −4x −4x ( x −4x) 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 < 2 ⋅ 5 ⇔ 5 ⋅ 250 ⋅ 2 − 2 < 0

Т.к. по определению $− 4x 5 > » class=»math» width=»auto»> при всех <img decoding=$ из ОДЗ, то неравенство равносильно

x −4x 250 ⋅ 2 − 2 < 0

Умножим обе части неравенства на положительное выражение $24x$ и получим

−1 250 ⋅ 2x ⋅ 24x − 2−4x ⋅ 24x < 0 ⇔ 250 ⋅ 25x < 1 ⇔ 25x < 250−1 ⇔ 25x < 2log2250

Т.к. основание больше единицы ( $2 > 1 » class=»math» width=»auto»>), то неравенство равносильно <center class=$

5x < log 250 −1 ⇔ x < − 1-+-3-log2-5 2 5

Таким образом, ответ $( 1+3 log 5) x ∈ − ∞; − ----5-2-$ .