Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №31

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

8x + 2x − 2 ≤ 0

ОДЗ: $x$ – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

3x x 2 + 2 − 2 ≤ 0

Сделаем замену $x y = 2$ , $y > 0 » class=»math» width=»auto»>. Полученное неравенство примет вид: </p> <p class=$

y3 + y − 2 ≤ 0

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: $y = 1$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $y − y0$ , где $y0$ – его корень, тогда

3 2 | y 3+ 0 ⋅ y2+ y − 2 |--2-y-−-1------ y-−----y-2 |y + y + 2 y + y | y2-−-y- | 2y − 2 | 2y − 2 | -----0- |

Таким образом, последнее неравенство равносильно

(y − 1)(y2 + y + 2) ≤ 0

Так как у уравнения $y2 + y + 2 = 0$ дискриминант отрицательный, то выражение $y2 + y + 2$ всюду имеет один и тот же знак. Так как при $y = 1$ выражение $2 y + y + 2$ положительно, то оно положительно при всех $y$ .

Таким образом, последнее неравенство равносильно

(y − 1 ) ≤ 0 ⇔ y ≤ 1

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству

2x ≤ 1 ⇔ 2x ≤ 20 ⇔ x ≤ 0.