Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №30

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

x x x 27 − 3 +3 ⋅9 − 3 ≤0

ОДЗ: $x$ — любое число.

Исходное неравенство равносильно неравенству

3x 2x x 3 + 3⋅3 − 3 − 3 ≤ 0

Сделаем замену $y = 3x$ , y > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1904-4.svg» width=»auto»>. Полученное неравенство примет вид: </p>
<p class=

3 2 y + 3y − y− 3≤ 0

В левой части последнего неравенства сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

y2(y +3)− (y+ 3)≤ 0 ⇔ (y2 − 1)(y+ 3)≤ 0 ⇔ (y − 1)(y+ 1)(y+ 3)≤ 0

По методу интервалов при y >0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1904-7.svg» width=»auto»> имеем:<br class=

$PIC$

Отсюда $y ∈ (0;1]$ .

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

0< 3x ≤1 ⇔ 3x ≤ 30 ⇔ x≤ 0