Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №3

Просмотров 7 Комментарии 0

Решите неравенство

5x − 5 ≥ 7x − 7

Исходное неравенство равносильно неравенству

7x − 5x ≤ 2

При $x ≤ 0$ :

x x x 0 < 7 ≤ 1, 0 < 5 ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ − 5 < 0

следовательно,

− 1 < 7x − 5x < 1 < 2,

то есть всякий $x ≤ 0$ является решением исходного неравенства.

При $x > 0 » class=»math» width=»auto»>:<br class=$ покажем, что левая часть последнего неравенства возрастает при $x > 0 » class=»math» width=»auto»>: </p> <p> <center class=$ $(7x − 5x)′ = 7x ⋅ ln7 − 5x ⋅ ln5.$ Так как при любом $x > 0 » class=»math» width=»auto»> выполнено <img decoding=$ $(7x − 5x)′ > 0, » class=»math-display» width=»auto»></center> следовательно, <img decoding=$ – возрастает на промежутке $(0;+ ∞ )$ .

Так как $f(x)$ возрастает на промежутке $(0;+ ∞ )$ , то у уравнения $f (x) = 2$ не более одного решения на $(0;+ ∞ )$ . При этом можно угадать его решение

x = 1.

Так как на промежутке $(0;+ ∞ )$ $f (x )$ – возрастает, то при $x ∈ (0;1]$ выполнено

f (x) ≤ 2,

а при $x ∈ (1;+ ∞ )$ выполнено

f (x) > 2. » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class=

Показательные неравенства