Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №28

Решите неравенство

  (32x+2x⋅3x+30)    (4x− 2x⋅3x+1+log32) 2             >  3  » class=»math-display» width=»auto»></center>                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       </div>
<p><button class=Показать ответ

ОДЗ: x  – произвольный.

 

Так как левая и правая части исходного неравенства положительны, то от них можно взять log    2   , в результате чего получим равносильное неравенство

                                x  x x+1        32x + 2x ⋅ 3x + 1 > log23(4 −2 ⋅3 +log32)     ⇔ ⇔      32x + 2x ⋅ 3x + 1 > (4x − 2x ⋅ 3x+1 + log 2) ⋅ log 3  ⇔         2x   x   x         x    x   x+1      3      2 ⇔      3  + 2  ⋅ 3 + 1 > (4  − 2  ⋅ 3  ) ⋅ log2 3 + 1   ⇔ ⇔      32x + 2x ⋅ 3x > (4x − 2x ⋅ 3x+1) ⋅ log 3                                         2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= Поделим последнее неравенство на   x  x 2  ⋅ 3  :

(   )x       ( (  )x     )   3-   + 1 >     2-  −  3  ⋅ log 3   2              3             2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= Сделаем замену (  )x   3-   2    = t > 0  » class=»math» width=»auto»>: </p>
<p class=

        (      ) t + 1 >   1−  3  ⋅ log 3,           t          2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= что при t > 0  » class=»math» width=»auto»> равносильно                                                                                                                                                                                                           </p>
<p class=

t2 + t > (1 − 3t) ⋅ log23   ⇔       t2 + (3 log2 3 + 1)t − log23 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= Решим уравнение

 2 t +  (3 log23 + 1)t − log2 3 = 0

его дискриминант                  2                     2 D =  (3log23 + 1)  + 4log2 3 = 9(log2 3) +  10log23 + 1,>  0,  » class=»math» width=»auto»> следовательно, </p>
<p>    <center class=                      ∘ ------------------------     −-(3log23-+-1)-±---9-(log2-3)2 +-10-log2-3-+-1 t =                      2                     ,

так как log2 3 > 0  » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=                      ∘  --------2--------------- t = −-(3-log2-3 +-1) +---9(log2-3)-+--10log23-+-1                          2

По методу интервалов при t > 0  » class=»math» width=»auto»><br class= 
PIC
 
откуда     (                  ∘ --------2---------------     ) t ∈   − (3-log2-3-+-1) +--9(log23)-+--10log2-3 +-1-;+∞                            2 , следовательно,

    (                       ∘ --------2---------------     ) x ∈   log3 −-(3log23-+-1)-+---9(log23)--+-10-log2-3 +-1;+ ∞   .          2                      2

Оцените статью
Я решу все!