Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №20

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

x 125x − 25x + 4-⋅ 25-−-20-≤ 4 5x − 5

Так как $25x = (5x )2, 125x = (5x)3$ , то сделаем замену $5x = t$ и неравенство примет рациональный вид:

3 2 4t2-−-20- 3 2 4t2 −-20 −-4(t −-5) 2 4t(t −-1) t − t + t − 5 ≤ 4 ⇔ t − t + t − 5 ≤ 0 ⇔ t(t − 1) + t − 5 ≤ 0

Вынесем за скобки $t(t − 1)$ :

( ) --4-- t2-−-5t +-4 t(t −-1)(t −-1)(t −-4) t(t − 1) ⋅ t + t − 5 ≤ 0 ⇔ t(t − 1) ⋅ t − 5 ≤ 0 ⇔ t − 5 ≤ 0

(так как $2 t − 5t + 4 = (t − 1 )(t − 4)$ )
Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$
Тогда решением будут

t ∈ (− ∞; 0] ∪ {1} ∪ [4;5)

Сделаем обратную замену:

⌊ x ⌊ 5 ≤ 0 x ∈ ∅ |⌈5x = 1 ↔ |⌈ x = 0 x 4 ≤ 5 < 5 log54 ≤ x < 1

(так как по определению показательной функции $x 5 > 0 » class=»math» width=»auto»> для любого <img decoding=$ , то неравенство $x 5 ≤ 0$ не имеет решений)