Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

125x + 7 ⋅ 25x + 12 ⋅ 5x + log 15625 ≤ 25x + 5x 5

ОДЗ: $x$ – произвольный.

Так как $log 15625 = log 56 = 6 5 5$ , то исходное неравенство равносильно неравенству

x x x 125 + 6 ⋅ 25 + 11 ⋅ 5 + 6 ≤ 0

Сделаем замену $5x = t > 0 » class=»math» width=»auto»>: </p> <p class=$

t3 + 6t2 + 11t + 6 ≤ 0

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: $t = − 1$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $t − t0$ , где $t0$ – его корень, тогда

3 2 | t + 6t + 11t + 6 |----t +-1----- t3 +-t2 |t2 + 5t + 6 5t2 + 11t | 5t2 +-5t | 6t + 6 | 6t + 6 | -----0 |

Таким образом, последнее неравенство равносильно

(t + 1)(t2 + 5t + 6) ≤ 0 ⇔ (t + 1)(t + 2 )(t + 3) ≤ 0,

то есть оно не выполняется при $t > 0 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, ответ: </p> <p> <center class=$ $x ∈ ∅.$