Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №19

Просмотров 4 Комментарии 0

Решите неравенство

x x x x+1 9-−--3-+--2 5-⋅ 3-−-19 2-⋅ 3---−-2 9x − 3x + 3x − 4 ≤ 3x

Так как $9x = (3x)2$ и $3x+1 = 3 ⋅ 3x$ , то неравенство после замены $t = 3x$ примет вид рационального неравенства:

t2 −-t +-2 5t-−-19 6t −-2 t2-−-t +-2-−-(6t-−-2)(t −-1) 5t −-19 −-t(5t −-7) 5t-−-19 t2 − t + t − 4 ≤ t ⇔ t(t − 1) + t − 4 ≤ 0 ⇔ t(t − 1) + t − 4 ≤ 0

Данное неравенство равносильно системе:

( ( | − (5t − 7) 5t − 19 | ---3t-−-9---- { --t-−-1---+ --t −-4 ≤ 0 { (t − 4)(t − 1) ≤ 0 | ⇔ | ( t ⁄= 0 ( t ⁄= 0

Решим первое неравенство методом интервалов:

$PIC$
Тогда решением будут $t ∈ (− ∞; 1) ∪ [3;4)$ .
Учитывая, что $t ⁄= 0$ , сделаем обратную замену:

( x ( |||{ 3 ⁄= 0 ||{ x⌊ ∈ ℝ ⌊3x < 1 x < 0 | ⌈ ⇔ | ⌈ ||( x |( 1 ≤ x < log 4 3 ≤ 3 < 4 3

(так как $3x > 0 » class=»math» width=»auto»> при всех <img decoding=$ , как показательная функция, следовательно, $3x ⁄= 0$ при всех $x$ )