Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №17

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

x x+3 x 4--−-2----+-7- 2--−-9- ---1--- 4x − 5 ⋅ 2x + 4 ≤ 2x − 4 + 2x − 6

Так как $4x = (2x)2$ , $2x+3 = 2x ⋅ 23$ , то заменой $2x = t$ неравенство сведется к рациональному:

2 t-−-8t-+-7- t −-9 -1--- t2 − 5t + 4 ≤ t − 4 + t − 6

$2 t − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4)$ , следовательно:

( 2 1 t2 − 8t + 7 − (t − 9)(t − 1) 1 2(t − 1) 1 |{ -----≤ ----- ---------------------------≤ ----- ⇔ ------------- ≤ ----- ⇔ t − 4 t − 6 (t − 1)(t − 4) t − 6 (t − 1)(t − 4) t − 6 |( t − 1 ⁄= 0

Рассмотрим первое неравенство системы:

2 1 t − 8 -----≤ ----- ⇔ ------------- ≤ 0 t − 4 t − 6 (t − 4)(t − 6)

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$
Тогда решением будут $t ∈ (− ∞; 4) ∪ (6;8 ]$ .
Так как $t − 1 ⁄= 0$ , то есть $t ⁄= 1$ , то

t ∈ (− ∞; 1) ∪ (1;4) ∪ (6;8 ]

Вернемся к прежней переменной:

⌊2x < 1 ⌊ x < 0 ||1 < 2x < 4 ⇔ || 0 < x < 2 ⌈ ⌈ 6 < 2x ≤ 8 log26 < x ≤ 3