Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №16

Просмотров 25 Комментарии 0

Решите неравенство

x 2x − 6 −-x9⋅2-−x37--≤ -x1-- 4 − 7⋅2 + 12 2 − 4

Так как $4x = (2x)2$ , то с помощью замены $2x = t$ данное неравенство можно свести к рациональному:

t− 6− -29t−-37--≤ -1-- ⇔ t− 6≤ (t−-3)+-(9t−-37) ⇔ t− 6≤ --10(t−-4)-- t − 7t+ 12 t− 4 (t− 3)(t− 4) (t− 3)(t− 4)

(так как $t2− 7t+ 12 = (t− 3)(t− 4)$ )
Данное неравенство можно преобразовать к виду:

(t− 6)(t− 3)(t− 4) − 10(t− 4) (t− 4)(t2 − 9t+ 8) -------(t− 3)(t−-4)-------≤ 0 ⇔ --(t−-3)(t−-4)--≤ 0

Так как $t2− 9t+8 = (t− 1)(t− 8)$ , то неравенство равносильно:

(t−-4)(t−-1)(t-− 8) (t− 3)(t− 4) ≤0

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$
Тогда решением будут

t∈ (− ∞;1]∪(3;4)∪(4;8]

Сделаем обратную замену:

⌊2x ≤ 1 ⌊x≤ 0 | x | |⌈3< 2 < 4 ⇔ |⌈log23 < x< 2 4< 2x ≤ 8 2< x≤ 3