Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №14

Просмотров 23 Комментарии 0

Решите неравенство

-----3------− ----4---- + 1 ≥ 0 (22−x2 − 1)2 22−x2 − 1

Сделаем замену: $2 t = 22−x$ . Тогда неравенство примет вид:

2 2 ---3---- --4-- 3 −-4-(t-−-1)-+-(t −-1) t-−-6t-+-8- (t − 1)2 − t − 1 + 1 ≥ 0 ⇔ (t − 1)2 ≥ 0 ⇔ (t − 1)2 ≥ 0

Так как $t2 − 6t + 8 = (t − 2 )(t − 4)$ , то

(t-−-2)(t −-4-)≥ 0 (t − 1)2

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$
Тогда решением будут

t ∈ (− ∞; 1) ∪ (1; 2] ∪ [4; +∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊ 2−x2 ⌊ ⌊ 2 < 1 2 − x2 < 0 x2 > 2 || 2−x2 | 2 | 2 | 1 < 2 ≤ 2 ⇔ |⌈ 0 < 2 − x ≤ 1 ⇔ |⌈1 ≤ x < 2 ⌈ 2 2 2 22−x ≥ 4 2 − x ≥ 2 x ≤ 0

Решением первого неравенства будут $√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 2) ∪ ( 2; +∞ )$ (так как $2 √ -- x > 2 ⇔ |x| > 2 » class=»math» width=»auto»>).<br class=$ Решением второго неравенства будут $√ -- √ -- x ∈ (− 2;− 1] ∪ [1; 2)$ (так как $x2 ≥ 1 ⇔ |x| ≥ 1$ , а $√ -- x2 < 2 ⇔ |x| < 2$ , и данные решения нужно пересечь).
Решением третьего неравенства будут $x ∈ {0 }$ (так как любое выражение в квадрате всегда $≥ 0$ , следовательно, оно может быть $≤ 0$ тогда и только тогда, когда оно равно нулю).
Следовательно, ответ:

√ -- √ -- √ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 2) ∪ (− 2;− 1] ∪ {0} ∪ [1; 2) ∪ ( 2;+ ∞ )