Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №11

Просмотров 7 Комментарии 0

Решите неравенство

12x + 6x+1 + 144 ≥ 16 ⋅ 3x + 9 ⋅ 4x + 27 ⋅ 2x+1

Перенесем все слагаемые в одну часть:

x x+1 x x x+1 12 + 6 + 144 − 16 ⋅ 3 − 9 ⋅ 4 − 27 ⋅ 2 ≥ 0 ⇔ ⇔ (12x − 9 ⋅ 4x ) + (6x+1 − 27 ⋅ 2x+1) + (144 − 16 ⋅ 3x) ≥ 0 ⇔ x x x+1 x+1 x ⇔ 4 (3 − 9) + 2 (3 − 27 ) + 16 (9 − 3 ) ≥ 0 ⇔ ⇔ (3x − 9)(4x + 3 ⋅ 2x+1 − 16) ≥ 0

Рассмотрим выражение $4x + 3 ⋅ 2x+1 − 16 = (2x)2 + 6 ⋅ 2x − 16 = (2x − 2)(2x + 8)$ . Тогда неравенство примет вид:

(2x − 2)(2x + 8)(3x − 9) ≥ 0

Заметим, что выражение $2x + 8 > 0 » class=»math» width=»auto»> при всех <img decoding=$ . Следовательно, можно разделить обе части неравенства на него. Тогда по методу рационализации неравенство равносильно:

(2 − 1)(x − 1)(3 − 1 )(x − 2) ≥ 0 ⇔ (x − 1 )(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; 1] ∪ [2; +∞ ).