Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у смешанных функций» №7

Просмотров 4 Комментарии 0

Найдите точку минимума функции

√- y = x x − 1,5lnx+ 2

ОДЗ функции x > 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1511-1.svg» width=»auto»> Найдем производную функции и исследуем ее, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции. </p>
<div class= $′ ( 3 3 )′ 3 1 3 1 3 x√x − 1 y = x2 − 2 ln x+ 2 = 2x2 − 2 ⋅x = 2 ⋅--x---$

Найдем критические точки, то есть внутренние точки области определения, где производная равна нулю или не существует:

′ 3 x√x-− 1 √ - y = 0 ⇒ 2 ⋅ x = 0 ⇒ x x− 1= 0 ⇒ x =1

Следовательно, при $x> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1511-4.svg» width=»auto»> производная равна нулю в точке <img decoding=$ , следовательно, $x= 1$ разбивает область определения производной на промежутки, на каждом из которых она принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, при $0< x< 1$ производная отрицательна, значит, функция $y = y(x)$ убывает; при $x> 1 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1511-10.svg» width=»auto»> производная положительна, значит, функция возрастает. Следовательно, <img decoding=$ — точка минимума.