Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у смешанных функций» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку локального минимума функции

$x -6e-- x 6 y = e + 1 − ln((e + 1) )$ .

ОДЗ: $ex + 1 > 0 » class=»math» width=»auto»> – верно при любом <img decoding=$ . Решим на ОДЗ:

Заметим, что

-6--- e + 1

– просто число, тогда:

( ) ′ x x ( ) y ′ = --6--ex − ln((ex + 1 )6) = -6e--− 6--e--- = 6ex -1---− --1--- . e + 1 e + 1 ex + 1 e + 1 ex + 1

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

( ) x 1 1 1 1 6e ----- − -x---- = 0 ⇔ ----- − -x---- = 0 e + 1 e + 1 e + 1 e + 1

(так как $x e > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ), что равносильно $----ex-−-e----- (e + 1 )(ex + 1) = 0$ , откуда находим $x = 1$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального минимума функции $y$ .