Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у смешанных функций» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку локального минимума функции

$xe−-0,5x y = x + 1$ .

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ . Решим на ОДЗ:

( ) ′ x − 0,5x ′ 1 −0,5x −0,5x x e−0,5x 2 y = ------⋅ e = -------2e − 0,5e ------= -------2(− 0,5x − 0,5x + 1). x + 1 (x + 1) x + 1 (x + 1)

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

e−0,5x 2 2 -------2(− 0,5x − 0,5x + 1) = 0 ⇔ − 0,5x − 0,5x + 1 = 0 (x + 1)

– на ОДЗ (так как $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ), откуда находим корни $x1 = − 2, x2 = 1$ . Производная функции $y$ не определена при $x = − 1$ , но $x = − 1$ не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 2$ – точка локального минимума функции $y$ .