Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у смешанных функций» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку максимума функции $3 y = 4x--+-5-+ 10x ⋅ x +-1- e2x e2x$ на промежутке $[− 10;3]$ .

ОДЗ: $x$ – произвольный.

12x2 ⋅ e2x − 2e2x ⋅ (4x3 + 5 ) x + 1 e2x − 2e2x(x + 1) y′ =-------------4x------------+ 10 ⋅ --2x-+ 10x ⋅--------4x-------= 2 e e e = − 8x-(x-+-1)- e2x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

[ x2(x + 1) x = − 1 − 8----2x----= 0 ⇔ e x = 0

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом промежутке $[− 10;3]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 10; 3]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ – точка максимума функции $y$ на $[− 10; 3]$ .