Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у сложных функций» №7

Просмотров 24 Комментарии 0

Найдите точку максимума функции

√ ---------------- y = − 79 − 18x − x2

1 способ.

Заметим, что

x2 + 18x + 79 = x2 + 18x + 81 − 2 = (x + 9 )2 − 2

Следовательно, $∘ -------------- y = − (x + 9)2 + 2$ . Так как $(x + 9)2 ≥ 0$ , то $− (x + 9)2 + 2 ≤ 2$ .
Заметим, что при $x < − 9$ функция $y(x )$ является возрастающей, так как при увеличении $x$ значение $y(x )$ также растет. А при $x > − 9 » class=»math» width=»auto»> функция является убывающей. Следовательно, <img decoding=$ – точка максимума.

2 способ.

Найдем производную функции.

√ ---------------- 1 y′ = ( − 79 − 18x − x2)′ ⋅ (− 79 − 18x − x2)′ =-√----------------⋅ (− 2x − 18) 2 − 79 − 18x − x2

Найдем нули производной:

y ′ = 0 ⇒ x = − 9

Заметим, что $x = − 9$ подходит по ОДЗ ( $− 79 − 18x − x2 ≥ 0$ ). Найдем знаки производной справа и слева от точки $x = − 9$ :
$PIC$
Таким образом, по определению точка $x = − 9$ является точкой максимума.