Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у сложных функций» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку локального максимума функции $y = sin(cos πx)$ , лежащую на отрезке $[− 2,5;− 1,8]$ .

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx )

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

⌊ πx = πn, n ∈ ℤ cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx ) = 0 ⇔ ⌈ π- cosπx = 2 + πk, k ∈ ℤ

Второе уравнение последней совокупности не имеет решений ни при каких $k ∈ ℤ$ , следовательно, производная равна $0$ только при $x = n, n ∈ ℤ$ . Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y ′$ (здесь бесконечно много промежутков, знаки производной в которых чередуются):

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на $[− 2,5;− 1,8]$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ на $[− 2,5;− 1,8]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 2$ – точка локального максимума функции $y$ на отрезке $[− 2,5;− 1,8]$ .

Поиск точек экстремума у сложных функций