Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у сложных функций» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку максимума функции

$x2 -1- y = − e − ex2$ .

y′ = (− ex2 − e−x2) = − 2xex2 + 2xe−x2 = − 2xe−x2(e2x2 − 1).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

−x2 2x2 x2 x2 − 2xe (e − 1 ) = 0 ⇔ − x(e + 1)(e − 1) = 0

(так как $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ), откуда находим $x = 0$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка максимума функции $y$ .