Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у сложных функций» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку максимума функции $y = √−x2-+2-− 6x.$

Найдем ОДЗ: $− x2+ 2− 6x≥ 0,$ что равносильно $x2 +6x − 2 ≤ 0,$ откуда находим $− 3 − √11-≤ x≤ − 3+ √11.$

1) Найдем производную:

−2x− 6 x +3 y′ = √---2--------= −√---2-------- 2 −x + 2− 6x −x + 2− 6x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

′ ----x+-3---- y = 0 ⇔ − √−-x2+-2−-6x-= 0 ⇔ x +3 = 0

— на ОДЗ, откуда находим $x = −3.$ Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = −3$ — точка максимума функции $y.$