Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у произведения» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите точку локального минимума функции

$y = (x2 − x − 15,5) ⋅ ex ⋅ ex$ .

Так как $′ (f(x ) ⋅ g(x) ⋅ h(x)) = f′(x ) ⋅ g(x ) ⋅ h(x) + f(x ) ⋅ g′(x) ⋅ h (x) + f(x) ⋅ g(x) ⋅ h ′(x)$ для произвольных дифференцируемых функций $f(x), g(x), h(x)$ , то:

1) $y ′ = (2x − 1) ⋅ ex ⋅ ex + (x2 − x − 15,5 ) ⋅ ex ⋅ ex + (x2 − x − 15, 5) ⋅ ex ⋅ ex =$
$2 x x 2 2x 2x = (2x − 32) ⋅ e ⋅ e = 2(x − 16) ⋅ e = 2(x − 4)(x + 4) ⋅ e$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2(x − 4)(x + 4) ⋅ e2x = 0 ⇔ (x − 4)(x + 4) = 0

(так как $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ), откуда находим корни $x1 = − 4, x2 = 4$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 4$ – точка локального минимума функции $y$ .