Задача к ЕГЭ на тему «Поиск точек экстремума у произведения» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите точку локального максимума функции

$y = πx ⋅ e−x + π2017$ .

1) $y′ = πe−x − πx ⋅ e− x = π(1 − x)e−x$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

−x π (1 − x )e = 0 ⇔ x = 1

(так как $e−x > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального максимума функции $y$ .